回到宿舍的陳舟,把背包仍在椅子上,伸手翻開了一頁草稿紙。
草稿紙上,所寫的內容,如果那位諾特學姐在的話,一定驚呼出聲。
因為,這也草稿紙的內容,就是關于“伽羅瓦群的阿廷L函數的線性表示”的研究內容。
這也是陳舟在阿廷教授說要給他布置子課題進行研究時,略顯遲疑的原因。
相比于阿廷教授的子課題,對“伽羅瓦群的阿廷L函數的線性表示”進行研究,會更有趣。
“這個諾特學姐,倒真會找課題…”
“或許,這就是巧合吧?”
陳舟拿起這張草稿紙,前后看了一遍,無奈的搖了搖頭。
要不是課題撞車,陳舟或許還會多考慮一下。
可自己感興趣的課題,居然還被人邀請一起研究。
那陳舟就只有拒絕了。
倒不是陳舟覺得合作不好,只是他現在更喜歡獨立的進行研究。
尤其是這種感興趣的課題。
除非是楊依依和自己一起研究,其他人,陳舟都會不習慣。
至于這個課題,要是被諾特和她的導師捷足先登了。
那陳舟也不會在意,相反,還會去恭喜這位諾特學姐。
畢竟數學研究這種事,沒有什么是一定的。
輕輕放下這張草稿紙,陳舟把背包拿開,坐在椅子上。
然后找到一張新的草稿紙,拿起筆,開始梳理這個課題所牽涉的研究內容。
當然,這個課題的優先級是遠遠低于哥猜的研究和膠球實驗課題的。
也許等到哥猜解決后,陳舟才會把它的優先級提起來。
誠如諾特所言,這里面的一系列問題,簡直太令人神往了。
對于每一個一元多項式,我們可以定義L函數,它們通常叫做戴德金ζ函數…
這段話寫完后,陳舟拿筆把戴德金ζ函數畫了個圈,習慣性拿筆在旁邊點了幾下。
然后,在這個圈的旁邊,寫下了黎曼ζ函數。
黎曼ζ函數是一元一次多項式的特殊情況。
不過,戴德金ζ函數和黎曼ζ函數一樣,可以用初等證明的方法,證明其滿足這一函數的前兩個條件。
想到這,陳舟的思維擴散開來。
戴德金ζ函數一個自然的推廣,是考慮多元多項式的情況。
而這里,就進入了代數幾何的領域。
多元多項式的零點,定義了一個幾何對象,也就是代數簇。
對代數簇的研究,便被稱之為代數幾何。
說起來,代數幾何雖然是一門古老的學科,但它也是在20世紀,才經歷了一次蔚為壯觀的發展。
20世紀初期,意大利學派對代數曲面的研究,有了長足的進展。
然而,其不嚴謹的基礎,促使奧斯卡·扎里斯基和安德烈·韋伊重構了整個代數幾何的基礎。
韋伊更是指出了代數幾何和數論與拓撲之間的驚人聯系。
在之后,被譽為代數幾何皇帝的格羅滕迪克,為了理解韋伊的猜想,更進一步用更抽象本質的方法,重新構建了代數幾何的基礎,并引進了一系列強大的工具。
特別是他的上同調理論,最終促使他的學生,也就是陳舟的三位審稿人之一的德利涅教授,完整的證明了韋伊猜想。
并因此,獲得了菲爾茲獎。
事實上,格羅滕迪克的上同調理論,根植于代數拓撲。
而且,格羅滕迪克同時構造了一系列上同調理論,它們具有非常類似的性質。
但卻起源于非常不同的構造。
格羅滕迪克試圖尋找出它們的共同本質,并由此提出了Motive理論。
這一理論并不完整,因為它基于一系列的猜想。
Motive理論也被格羅滕迪克稱之為標準猜想。
如果標準猜想被證明,那也就得到了完整的Motive理論。
它導出了所有上同調,同時能證明一系列表面無關的問題。
舉個例子,七大千禧難題之一的霍奇猜想的重要性,就在于它能導出標準猜想。
不得不說,標準猜想的證明,大概算是代數幾何里最要緊的事了。
但是,標準猜想的證明難度,卻又是頂級的。
真要比一下的話,從陳舟的角度來看,標準猜想的難度,得比哥猜高一個等級。
收回思緒,陳舟回到眼前的草稿紙上,拿起筆,開始寫到:
關于MotivicL函數和自守L函數,每一個MotivicL函數,都是由Motivic給出的。
對于這些函數,很容易驗證其滿足黎曼ζ函數的第一個條件,但是第二個條件,還無法證明一般的情況。
一個已知例子是,有理數上橢圓曲線的情形,也就是費馬大定理的證明的一個推論。
陳舟記得在文獻上看到過,這個谷山志村猜想的完整情形,是在2001年,由懷爾斯教授的幾位學生證明。
不得不說,懷爾斯教授的學生在面對費馬大定理的推論時,都有buff加成。
陳舟在谷山志村猜想旁邊,做了個標記,便繼續寫到:
對于幾乎所有L函數,第三個條件,也就是黎曼假設,都是未知的。
唯一的例外是Motive在有限域的情形,此時L函數滿足黎曼假設的條件,正是韋伊猜想。
陳舟又在韋伊猜想旁邊,寫下了“德利涅”三個字。
雖然看似這里面的問題,被解決了不少。
但實際上,尚未解決的問題,才是真正的龐大。
對于對于MotivicL函數的特殊值的問題,現在普遍的研究認為,需要Motive的一個推廣。
這是一個更加龐大,也更加遙遠的夢想。
數學家們把它稱為mixedmotive。
它的存在能夠推導出一系列及其漂亮的等式,推廣歐拉對于黎曼ζ的公式。
著名的貝林森猜想,七大千禧難題之一的BSD猜想等,都屬于可以被推導之列。
從某種程度來說,mixedmotive可以和標準猜想相媲美,甚至于超過了標準猜想。
因為目前的數學界,還不知道如何去構造它罷了。
當然,目前的數學界雖然無法構造mixedmotive,卻能夠構造它的一個弱化變形,也就是導出范疇。
俄羅斯數學家弗拉基米爾·沃埃沃德斯基,就是因為給出了這樣一個構造,從而獲得了2002年的菲爾茲獎。
想到這,陳舟的內心憧憬無比,這要是解決了標準猜想,再構造出mixedmotive理論。
那自己能拿多少個菲爾茲獎?
自己怕不是會成為第一個拿獎,拿到億萬富翁的數學家?
但很快,陳舟就清醒了。
都沒到晚上睡覺呢,還是先不做夢了。
老老實實,腳踏實地的,一步一步做好自己的研究,才是最主要的。
不再多想的陳舟,繼續在草稿紙上梳理這個課題所牽涉的研究內容。
每一個Motive都能給出一系列伽羅瓦群的表示以及復幾何中的霍奇結構,它們完全決定了L函數,因而考慮它們是更根本的問題…
事實上,Motive是比L函數更本質的存在,但是很難直接計算它。
替代的辦法是考慮Motive的不同表達。
從已有的例子來看,類域論已經解決了交換伽羅瓦群的情形。
也就是說,一個簡單,但卻根本的想法,是群的表示比群本身更加基本。
因而需要考慮的不是伽羅瓦群本身,而是它的表示。
這樣所有的交換伽羅瓦群,就等價于一維的伽羅瓦表示,而非交換的就等價于高維的表示。
想到這,陳舟微微皺眉,他把電腦打開,開始查找文獻資料。
按照這個思路來看的話,就必須必須考慮它們的內在對稱性。
可令人驚訝得是,這些對稱性很大程度上來源于一類完全不同的數學對象,也就是自守形式。
自守形式的起源可以追溯到19世紀,數學大神龐加萊是這一方向的先驅者。
陳舟手速飛快的在電腦上,輸入想要查找的內容。
再一一把文獻下載下來。
原本打算回來待一會,就去吃飯的陳舟,就這樣,不知不覺的陷入了數學的世界之中。