“本科階段的泛函分析我們以學習線性泛函分析分析為主，非線性泛函分析一般要等到研究生階段才開始學習。線性泛函分析主要內容，歸納起來，就是我們常說的一王一后以及四大天王。一王一后就是貝爾綱定理和HahnBanach定理，四大天王分別是開映射定理，閉圖像定理，
BanachSteinhaus定理，閉值域，Mazur定理…”
這是一堂復習課，那老師也不多話，直接在課堂上開講：“今天，我們就從一王一后以及四大天王入手，梳理本學期所學過的相關知識點，包括閉算子的譜分析，對稱算子的自伴延，算子半群理論，線性單調算子，算子代數…”
龐學林在座位上打了個哈欠，他居住的那個招待所隔音效果一般，昨晚沒睡好，這幾天又一直在趕路，他著實有些累了。再加上老師講課時還帶了部分方言口音，語氣不溫不火，雖然講的內容沒什么問題，但還是讓人感覺犯困。<i</i
龐學林不知不覺閉上了眼。
也不知過了多久，龐學林突然被一陣喧鬧聲吵醒。
他有些茫然地睜開眼，便發現教室里不少學生正用戲謔的眼神看著自己。
講臺上，那位禿頂教授正朝自己所在的方向說話：“那位穿軍綠大衣的同學，上課時間睡得這么香，看樣子你應該什么都會了吧，你過來過來，幫我解一解這道題…”
龐學林環顧四周，然后有些茫然地指了指自己：“老師，我嗎？”
“對，說的就是你！快點上來，幫我把黑板上這道題解了…”
“老師，我不是…”
“你上不上來？不上來的話就給我出去，不過你這門課也別想考了。”<i</i
“這…好吧！”
龐學林猶豫了片刻，還是選擇起身。
他原本想著等下課之后找這個教授套套話，問一下幾大期刊的地址。
現在如果直接出去，那可真把人家給得罪了。
龐學林走上講臺，眾人這才看清楚他那一身裝扮。
一身破舊的軍大衣，里面隱約可以看到黑色的棉布襖，布襖領子口的線頭掉了，露出小半截棉花。
他腳上踩著一雙黑布鞋，但幾天趕路下來，原本漿洗干凈的布鞋早就變臟兮兮不成樣了。
這個年代，大學生還是天之驕子，就算家里再窮，也有幾身用來對換的體面衣服。
如果不是龐學林本身氣質形象都不錯，就他這副衣著打扮，早就被人當做是農村出來的盲流了。<i</i
“這人是哪班的啊？以前怎么沒見過，這身打扮夠可以啊！”
“老王的課都敢睡覺，這家伙膽子真大。”
“我估計他已經放棄臨時抱佛腳的念頭了，泛函分析太tm難了，老王講課口音又重，我都犯困想睡覺了…”
臺下的學生們議論紛紛，一個個好奇地看著龐學林。
王崇慶看著龐學林的裝扮，皺了皺眉，說道：“同學，這道題，你來解吧！”
龐學林點了點頭，看著黑板上的題目。
設E，
F是兩個Banach空間，令A:D(A)E→F為一個閉算子，且 D(A)E。求證：D(A)σ(F′，F)F′D(A)σ(F′，F)F′。<i</i
A是A的伴隨算子，F′是F的對偶空間，σ(F′，F)為F′上的弱拓撲，
D(A)σ(F′，F)表示 D(A)在弱拓撲σ(F′，F)下的閉包。
將題目瀏覽完，龐學林幾乎沒怎么思考，直接開始在下面寫下答案。
1：設F是E的子向量空間滿足F≠E.則存在f∈E'不為 0，使得(f，x)0，x∈F。
結論2：設:E′→R是線性映射，且對拓撲σ(E′，E)連續，則存在 x∈E使得(f)(f，x)，f∈E′。
證明：設是F′上對拓撲σ(F′，F)連續的線性泛函，在D(A)上取值為0。由結論1，為證弱拓撲下的稠密性，只需證明≡0。
由結論 2，存在x∈F使得…<i</i
龐學林的書寫速度很快，整個證明過程幾乎沒怎么停頓，只用了不到兩分鐘，就完成了答題工作。
“老師，答完了，應該沒什么問題吧？”
王崇慶有些出神，這道題在泛函分析中，算的上是壓軸大題了，對本科生而言，有一定難度。
他原本都準備等龐學林答不出來的時候，再好好教訓他一番，可沒想到到這家伙的基礎似乎還不錯，竟然眨眼間就給出了證明。
無論是證明思路還是過程，都簡潔明了，幾乎無懈可擊。
臺下，也響起了學生們的議論聲。
“這家伙到底是誰啊，深藏不漏呀！”
“這道題我一直沒什么思路，沒想到他竟然這么快就給解出來了。”<i</i
“看樣子我們數學系牛人還挺多的。”
不少人紛紛將目光聚焦到龐學林身上。
王崇慶臉色微沉，上課睡覺，就算成績再好也不行，他可不想輕易放過這家伙。
他想了想，說道：“這位同學，看來你的基礎不錯，那你就給大家講講，你對泛函分析這門課的理解吧。”
泛函分析本質上屬于高度抽象化的一門課程，這也是它難學的原因，就算讓一位博士上臺，也不一定能完完整整地將自己對這門課的理解描述出來。
王崇慶嘴角微微翹起，他可不相信一個本科生有這樣的能耐。
“老師，你確定…讓我來講課？”
龐學林笑了起來。
“確定！”
王崇慶隱隱感覺到對方的笑容中有點詭異，不過他還是點了點頭。
龐學林道：“既然如此，那我就從泛函分析這門課的歷史開始說起吧。”
“眾所周知，泛函分析這門學科誕生于20世紀的初期，本身是數學發展中公理化的一個結果。也就說，數學家希望實現分析學的公理化。同樣的公理化運動也出現在幾何和代數上。現在的泛函分析已經變成一個龐然巨獸了，特別是把它和調和分析放在一起的時候，很難分清楚什么叫做調和分析，什么叫做泛函分析。不過我接下來要講的不是為了搞清楚它的定義，而是關注它的基礎和未來的發展趨勢。”
“我們首先討論一些早期的抽象分析，尤其是數學家如何將一個特殊的例子擴大化，使之成為一般意義上的定理。我們的討論主要涵蓋以下內容。一、Fredholm，
Hilbert關于積分方程的工作；二、Volterra
和Hadamard
關于動量問題的研究；三、Lebesgue，
在抽象空間上的工作以及最后，Hahn
和Banach關于對偶這個概念的研究…”
