在理查德一家人開始憧憬未來的時候，世界數學界毫無預兆的突然沸騰了！
最初的原因是陶軒之在他的博客上發表了一封喬喻發給的信。
成功的數學家之間相互經常郵件溝通探討數學問題是件很平常的事情。越是厲害的數學家越是如此。
而且在外界看來，兩人其實在某種程度上本就應該有共同語言。比如，小時候都屬于神童，長大了也沒荒廢。
尤其是兩人在數學層面的涉獵都很廣泛。
更別提陶軒之在喬喻還沒有被世界數學界廣泛認可之前，對這位后起之秀的評價就很高。
不止一次幫喬喻站臺就是明證，兩人私下會有聯系，本就是在所有人意料之中的事情之所以引發了數學界的轟動，還是因為這封信探討的問題一一湍流跟NS方程！
時隔七年，喬喻終于再次向數學下手了。
這封信的內容如下：
陶軒之先生：見字面。
前些日子袁老掐指一算，認為我有解決湍流本質問題的潛力，所以這段時間我一直在思考關于湍流，關于NS方程的光滑跟唯一性問題。
不得不說這的確是個很有意思的問題。巧的是在我研究這個問題的時候正好看到了2014年你在美國數學學會會刊上發表的論文一一《三維NS方程的平均解的有限時間爆破》。
所以寫了這封信探討一些我最近針對三維NS方程的想法。
你在論文中所構造的平均版本歐拉雙線性算子，證明了對于一個初值u0的湍流系統會在有限時間內爆炸。
我大概將之理解為一個機器人A灑了一瓶可樂，于是他復制了自身機器人B去收拾殘局，機器人B又復制了機器人C清理·
就這樣一直不停復制，直到機器人×直接釋放爆炸性能量，灑掉的可樂被清理干凈，
所有機器人也不復存在。
我覺得很有意思，你的研究讓針對NS方程的一種研究思路從此斷絕了證明的可能。
也給了我很大的啟發一一即證明過程必須要有區分原算子和平均化算子的方法。
這也讓喬代數幾何再次有了用武之地。
在傳統分析框架下，原算子與平均化算子會在巴拿赫空間中形成不可調和的矛盾，就像你所揭示的爆破機制那樣。
但如果我們將每個速度場單元u（，t)投射到模態空間（α，β）中，通過N_α，β(u)
的模態投影，可以構造出具有以下特性的新雙線性型：
其中「就是你論文中定義的臨界頻率區間。現在請你我都暫時忘記黎曼曲面與歐氏空間的界限。
來欣賞這個構造的精妙之處！
相信你也發現了，當趨近爆破閾值時，對應的模態分量N_{αY，β}(u)會因其自守性要求而自動湮滅一一這本質上將你所發現的機器人×的爆炸轉化為了模態空間中的守恒律。
現在讓我們回憶一下喬代數幾何中的模態守恒定理。
如果將若將初始條件u0改寫為N_α，β（u0)[Φ_k_I]，其中每個Φ_k滿足模態單位數穩定性條件IlN_α，β（Φ_k）Il1，那么能量傳遞鏈會在第kI≤dimM步時必然出現參數流形M的定向反轉。
為此我構造模態流形M7上的特殊示性類，并證明了任何導致有限時間奇點的解，必然違反N_α，β（1）的模態單位性定理。
當然，相信看到這里你已經發現問題了！
我的思路還有兩個致命漏洞無法驗證，一個是如何將粘性項△u嵌入模態空間的曲率張量；另一個則是我還無法解釋爆破解在模態參數（α，β）→（0，π/2)時的漸近行為。
事實上我已經借用量子模擬超算進行了數次奇異渦旋模態分解。但顯然，目前的結果并沒有能直接證明其具備光滑解跟唯一性的證據。
所以肯定還有我沒想到的地方，如果你不忙的話，也許我們能一起針對這兩個問題進行更深入的探討。
如果你的團隊有空暇也可以接入計算，讓我們一起努力，爭取早日解決這個未解之謎。
另：其實我想休息來著。但是我的老師跟袁老人家覺得我休息的時間很長了！他們對我寄予厚望，讓我不方便偷懶。
所以請一定要幫我想想辦法！而且我有種預感，當我們徹底認識到湍流的本質，或者說數學上的本質，將能在航天領域開辟另一條新的賽道，賽道上將會有我們的名字。
陶軒之在博客上將這封信公開之后，后面順帶發了自己的見解。
「雖然喬喻給我畫了一張很大的餅，但我發現以我淺薄的知識儲備恐怕無法獨立完成他所托付給我的任務。
所以如果大家誰有更好的想法，也許可以一起討論。尤其是如何將粘性項△u嵌入模態空間的曲率張量這個問題。
Au代表著速度場的擴散效應。它在空間中的作用通常與速度場的變化率有關，直觀地講，粘性項控制了速度場的平滑性。
但在模態空間的框架中，粘性項不僅需要考慮速度場的梯度，還要考慮其如何與模態結構相互作用。
這就涉及到如何將這些空間中的變換映射到模態空間，并理解這些變換如何影響解的性質。
另外，我們是否能把模態空間理解為對速度場進行投影后的一個空間，其中每個模態對應一個特定的基函數或頻率。
那么在該空間里，問題的復雜性可能會簡化，因為模態空間中的各個成分可以看作是解的一種表示或分解。
但是模態空間中的曲率張量涉及到流體動力學方程的幾何性質，尤其是速度場在不同方向上的變化和相互作用。
所以我初步的想法是將流體動力學方程的非線性項看作是一個幾何對象，類似于李群上的流形或變分法中的廣義力學系統。
那么在這個框架下，粘性項的作用可以通過曲率張量來描述，捕捉流體在不同模態下的擴散行為。
但可以想象，模態空間中的曲率張量是速度場在該空間中的局部幾何特性，而粘性項則可能影響這些幾何特性的傳播和變化。
因此，將粘性項嵌入到曲率張量的框架中，可能意味著需要構造一個非線性幾何算子，該算子需要敏銳的捕捉到速度場的變化及其擴散行為。
顯然這很難！如果你有更好的想法，請在博客下留言，或者直接給我或者喬喻發郵件！但很顯然，這并不只是像喬喻說的那樣，或者說他還是太謙虛了我相信如果真的能解決這個問題，絕對不止在未來航天領域這個賽道能下名字，而是在諸多賽道都能留下名字！」
只能說陶軒之是真的很擅長把一個問題給拋出去。然后集思廣益。但顯然其實要遠比他公開的其他問題更難！
好吧，這似乎是句廢話！
如果不難的話，也不會被列為千禧年七大數學難題之一了。
讓世界無數數學家無語的是，喬喻一出手就把NS問題給簡化了。
理論上來說，按照喬喻給出的方法，進行推演，已經能夠證明NS方程是有光滑解根唯一解的。
無非是要解決他在心中提到的兩個暫時還無法驗證的問題而已。
但還是那句話，解決這些世界級難題最大的意義其實并不是解決問題本身，而是解決問題的思路能為人們認識這個世界本質性的一些東西提供新的工具跟視角。
喬喻巧妙的將NS方程融入到喬代數幾何跟喬空間的方法，無疑給全世界數學家開了一扇窗！
用大眾能理解的語言來說，喬喻正在進行的是一次數學革命，更具體的是拓撲分析的模態化革命，甚至涉及到數學本體的認知升維、工具理性的范式躍遷。
這無疑是對學科壁壘進行溶解，甚至再次對計算數學展開降維打擊！
所有能看懂這封信跟陶軒之分析的數學家大概都有這種感觸。
因為喬喻提出這套方法的本質，其實可以理解為將物理空間的微分結構直接翻譯為模態空間的拓撲不變量。
當數學家們意識到NS方程的非線性項可以表征為參數流形M上的纖維叢截面時，這實際上架起了偏微分方程與代數幾何之間的量子橋梁，
正如當年邁克爾·阿蒂亞跟伊薩多爾·辛格開辟的AtiyahSinger指標定理統一分析與拓撲，喬喻的這套空間方法論正在締造動力學與幾何的深層對偶。
要知道在傳統分析中，往往將湍流奇點視為災難，但在N_α，β模態框架下，這些爆破點恰恰成了模態空間產生共形映射的臨界源。
怎么說呢，當年非歐幾何橫空出世的時候，直接是對平行公理的重新詮釋。此時的情況其實也差不多。
數學家不需要再跟無處不在的奇點做殊死搏斗，而是通過調節（α，β）參數直接將其轉化為新的維度調節器。
原本混沌的湍流能譜被解構為可列個模態層的相干共振。更驚人的是，當有人順著這個思路去做驗證，這種方法能對Kolmogorov尺度律給出了拓撲詮釋一一慣性區對應著參數流形M的測地線密集區，而耗散區則是其曲率爆發的黎曼褶皺甚至不止于此渦旋結構等價于復曲面上的特殊除子；Leray弱解的存在性對應著CalabiYau流形的鏡對稱性；湍流脈動離散為模態特征層的疊加；光滑性被重新定義為參數流形的連通性·—.
所以存在性的證明可以理解為湍流軌跡必然經過三維切片是的，喬喻只是發給陶軒之一封信，便在一個月后就讓整個數學界徹底沸騰了起來！
是的，不是熱鬧，不是討論，而是沸騰！各種深層次的討論甚至直接蔓延到了哲學領域。
畢竟喬喻提出的這種利用流形曲率編碼粘性耗散的方法，直接指向了數學與物理的超驗同構性。
也就是說人類可能永遠不清楚數學究竟是被發現的，亦或是數學只是被人為定義并重構人類文明的認知。
而之所以這其中有一個月的時間，主要是最初真沒幾個人能看懂兩人聊的內容。
這一個月很多真·大佬級人物跳出來各種講解跟驗證，才將信件中信息密集度極大的內容分步簡化成大家能看得懂的內容。
比如「能量傳遞鏈會在第k≤dimM步時必然出現參數流形M的定向反轉—」
喬喻在信件中只是簡單一句話就帶過了，但其實涉及到的內容包括了流體微元在有限時間內體積無限壓縮。
以及喬喻方法介入后直接將對其進行操作，然后讓原物理空間的奇點轉化為M流形上的光滑極點數學表示就是：原NS方程的爆破條件Ilu(t）Il→∞o被轉化為：J_{M}N_α，β（u)
當參數流形邊界出現零通量時，物理空間爆破必然被阻止。
而就這部分內容甚至可以直接寫一篇近百頁的數學論文！
這也解釋了真實的洋流肯定不會就因為一個小小的湍流突然毫無預兆的直接爆掉，積累的能量最終會通過某個通道傾瀉諸如這些需要有人進行數學解釋的東西太多了！如果沒有這些大佬耐心的發文章解釋，很多數學家都看不懂喬喻到底在跟陶軒之聊些什么。
甚至還有人直接將數學界大佬們解釋的內容進行總結，直接做出了一張對應表。
比如湍流中的渦旋拉伸，大概等于數學中的復結構的辛形變，對應的模態方程解釋片段就是_twN_α，β（w）Vv。
又比如粘性耗散，對應著Ricci曲率的各向異性擴散，模態方程片段則為vAu
如此種種，當人們一步步縷清喬喻竟然試圖用數學直接對物理現象進行解釋，自然讓整個數學界呈現出一種逐漸炸鍋的過程沒辦法，這才真是足以讓整個應用數學界為之瘋狂的數學理論！
如果喬喻真用這種方法結構了NS方程，意味著未來應用數學家們甚至能在一定程度上直接跳過物理，去結構自然，還原自然.·
所以這一塊還是陶軒之說的對！
真能搞定這個問題，受影響的絕對不止是航天領域！
